第9章多次元の確率分布¶

この章で学ぶこと

2つ以上の確率変数を同時に扱う 同時分布、そこから得られる 周辺分布・条件付き分布
確率変数の 独立性 と、統計学の前提となる「独立同分布」
共分散・相関係数 と、和の分散の公式 $V[X + Y] = V[X] + V[Y] + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$
標本平均の分散 $V[\bar{X}] = \sigma^2/n$ ——推測統計の出発点
条件付き期待値 と繰り返し期待値の法則
2変量正規分布

これまでは確率変数を1つずつ扱ってきました。しかし現実には「身長と体重」「気温と売上」のように、複数の量の関係を知りたいことがほとんどです。また、統計学では $n$ 個のデータを $n$ 個の確率変数 $X_1, \dots, X_n$ とみなすので、多変数の確率論は推測統計の土台そのものです。

9.1 同時分布と周辺分布¶

離散型の同時分布¶

コインを3回投げ、$X$ = 1・2回目の表の数、$Y$ = 2・3回目の表の数とします。2回目のコインが両方に関わっているので、$X$ と $Y$ には関係がありそうです。 8通りの結果それぞれで $(X, Y)$ の値を調べて集計すると、次の表が得られます。

	$Y = 0$	$Y = 1$	$Y = 2$	$X$ の周辺分布
$X = 0$	$1/8$	$1/8$	$0$	$2/8$
$X = 1$	$1/8$	$2/8$	$1/8$	$4/8$
$X = 2$	$0$	$1/8$	$1/8$	$2/8$
$Y$ の周辺分布	$2/8$	$4/8$	$2/8$	$1$

定義 9.1（同時確率関数と周辺確率関数）

$p(x, y) = P(X = x,\ Y = y)$ を $(X, Y)$ の 同時確率関数 という。$\sum_x\sum_y p(x, y) = 1$ を満たす。
$p_X(x) = \sum_y p(x, y)$、$p_Y(y) = \sum_x p(x, y)$ を、それぞれ $X$、$Y$ の 周辺確率関数 という。

「周辺」という名前は、表の 周辺（端） に合計を書くことに由来します。同時分布から一方の変数について足し合わせる（消去する）と、もう一方だけの分布が得られます。

同時分布と周辺分布 — 図9.1 同時分布（円の面積が確率）と、それを縦・横に足し合わせて得られる周辺分布。

連続型の同時分布¶

連続型では、2変数の関数 $f(x, y)$ を 同時密度関数 として使います。1変数では「面積が確率」でしたが、2変数では 体積が確率 になります。

\[ P\big((X, Y) \in A\big) = \iint_A f(x, y)\,dx\,dy, \qquad \iint_{\mathbb{R}^2} f(x, y)\,dx\,dy = 1 \]

周辺密度関数は、離散型の和を積分に置き換えて $f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y)\,dy$ です。

2変量の同時密度関数 — 図9.2 2変数の同時密度関数は「山」の形をした曲面で、ある領域の上の体積がその領域に入る確率になる。右は真上から見た等高線。

9.2 条件付き分布¶

「$X = x$ とわかったとき、$Y$ はどう分布するか」を表すのが条件付き分布です。第4章の条件付き確率をそのまま確率変数に当てはめます。

定義 9.2（条件付き分布）

$p_X(x) > 0$ のとき、$X = x$ を与えたときの $Y$ の 条件付き確率関数 を

\[ p(y \mid x) = P(Y = y \mid X = x) = \frac{p(x, y)}{p_X(x)} \]

と定める。連続型では $f(y \mid x) = \dfrac{f(x, y)}{f_X(x)}$ を 条件付き密度関数 という。

上の表で $X = 1$ を与えると、$Y$ の条件付き分布は「$X = 1$ の行」を行の合計 $4/8$ で割って

\[ P(Y = 0 \mid X = 1) = \frac{1}{4}, \quad P(Y = 1 \mid X = 1) = \frac{1}{2}, \quad P(Y = 2 \mid X = 1) = \frac{1}{4} \]

となります。表のある行（または列）だけを取り出し、合計が1になるように拡大したものが条件付き分布です。連続型では、同時密度関数の山を $X = x$ の位置で切った 切り口 の形が条件付き分布になります。

条件付き分布は同時分布の切り口 — 図9.3 楕円は同時密度関数の等高線。$X = x$ で切った切り口（色つきの曲線）が条件付き分布で、その中心（条件付き期待値）は $x$ とともに移動する。

9.3 確率変数の独立性¶

定義 9.3（確率変数の独立）

すべての $x, y$ について

\[ p(x, y) = p_X(x)\,p_Y(y) \qquad (\text{連続型では } f(x, y) = f_X(x) f_Y(y)) \]

が成り立つとき、$X$ と $Y$ は独立であるという。$n$ 個の確率変数 $X_1, \dots, X_n$ についても、同時分布が周辺分布の積になるとき独立という。

独立なら $p(y \mid x) = p(x, y)/p_X(x) = p_Y(y)$、つまり $X$ の値を知っても $Y$ の分布は変わらない ことになります。

上の例では $P(X = 0, Y = 2) = 0$ ですが $P(X = 0)P(Y = 2) = \frac{2}{8}\cdot\frac{2}{8} \ne 0$ なので、$X$ と $Y$ は独立ではありません。

独立同分布（i.i.d.）

$X_1, X_2, \dots, X_n$ が互いに独立で、すべて同じ分布に従うとき、独立同分布（independent and identically distributed, i.i.d.）であるといいます。

母集団から無作為に（くじ引きのように）$n$ 個のデータを取り出すことは、「母集団分布に従う i.i.d. な確率変数 $X_1, \dots, X_n$ の実現値を得ること」とモデル化されます。これが第4部以降の推測統計の基本的な枠組みです。

9.4 共分散と相関係数¶

2変数の関数の期待値¶

$g(X, Y)$ の期待値は、1変数のときと同様に $E[g(X, Y)] = \sum_x\sum_y g(x, y)\,p(x, y)$（連続型なら二重積分）で計算できます。これを使うと、第6章で予告した期待値の線形性 $E[X + Y] = E[X] + E[Y]$ が一般に示せます。

\[ E[X + Y] = \sum_x\sum_y (x + y)p(x, y) = \sum_x x\sum_y p(x, y) + \sum_y y\sum_x p(x, y) = \sum_x x\,p_X(x) + \sum_y y\,p_Y(y) \]

定理 9.1（独立な確率変数の積の期待値）

$X$ と $Y$ が独立ならば

\[ E[XY] = E[X]\,E[Y] \]

より一般に、独立ならば任意の関数 $g, h$ について $E[g(X)h(Y)] = E[g(X)]\,E[h(Y)]$。

証明（離散型）

独立性より $p(x, y) = p_X(x)p_Y(y)$ なので、二重和が積に分解できます。

\[ E[XY] = \sum_x\sum_y xy\,p_X(x)p_Y(y) = \left(\sum_x x\,p_X(x)\right)\left(\sum_y y\,p_Y(y)\right) = E[X]\,E[Y] \]

共分散と相関係数¶

第3章ではデータの共分散・相関係数を学びました。確率変数についても同じように定義します。

定義 9.4（共分散と相関係数）

$\mu_X = E[X]$、$\mu_Y = E[Y]$ とするとき

\[ \mathrm{Cov}(X, Y) = E\big[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)\big] = E[XY] - E[X]\,E[Y] \]

を 共分散、

\[ \rho(X, Y) = \frac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sqrt{V[X]}\sqrt{V[Y]}} \]

を 相関係数 という。

上の例では $E[XY] = \frac{1}{8}(1\cdot 1\cdot 2 + 1\cdot 2\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot 1 + 2\cdot 2\cdot 1) = \frac{10}{8}$、$E[X] = E[Y] = 1$ なので $\mathrm{Cov}(X, Y) = \frac{10}{8} - 1 = \frac{1}{4}$。$V[X] = V[Y] = \frac{1}{2}$（$B(2, 1/2)$ の分散）なので、$\rho = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$ です。 2回目のコインを共有しているぶん、正の相関があります。

定理 9.2（共分散と相関係数の性質）

$\mathrm{Cov}(X, X) = V[X]$、$\mathrm{Cov}(X, Y) = \mathrm{Cov}(Y, X)$
$\mathrm{Cov}(aX + b,\ cY + d) = ac\,\mathrm{Cov}(X, Y)$
$\mathrm{Cov}(X + Y,\ Z) = \mathrm{Cov}(X, Z) + \mathrm{Cov}(Y, Z)$
$-1 \le \rho(X, Y) \le 1$。$|\rho| = 1$ となるのは、$Y = a + bX$（$b \ne 0$）が確率1で成り立つときに限る。
$X$ と $Y$ が独立ならば $\mathrm{Cov}(X, Y) = 0$（したがって $\rho = 0$）。

証明（4と5）

4. 任意の実数 $t$ について $V[tX + Y] \ge 0$ です。展開すると（次の定理9.3を使う）

\[ V[tX + Y] = t^2 V[X] + 2t\,\mathrm{Cov}(X, Y) + V[Y] \ge 0 \]

これが $t$ の2次式としてつねに0以上なので、判別式は0以下です。

\[ \mathrm{Cov}(X, Y)^2 - V[X]\,V[Y] \le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \rho^2 \le 1 \]

等号は、ある $t$ で $V[tX + Y] = 0$、つまり $tX + Y$ が確率1で定数になるときに成り立ちます。

5. 定理9.1より $E[XY] = E[X]E[Y]$ なので $\mathrm{Cov}(X, Y) = 0$。

無相関でも独立とは限らない

定理9.2の5の逆は成り立ちません。たとえば $X$ が $-1, 0, 1$ を確率 $1/3$ ずつとり、$Y = X^2$ とすると、$Y$ は $X$ で完全に決まる（独立ではない）のに

\[ \mathrm{Cov}(X, Y) = E[X^3] - E[X]E[X^2] = 0 - 0 = 0 \]

です。共分散・相関係数は 直線的な 関係しか捉えません（第3章で見たU字型の散布図と同じ現象です）。

和の分散¶

定理 9.3（和の分散）

\[ V[X + Y] = V[X] + V[Y] + 2\,\mathrm{Cov}(X, Y) \]

特に $X$ と $Y$ が独立（または無相関）ならば

\[ V[X + Y] = V[X] + V[Y] \]

より一般に、定数 $a_1, \dots, a_n$ について

\[ V\left[\sum_{i=1}^{n} a_i X_i\right] = \sum_{i=1}^{n} a_i^2 V[X_i] + 2\sum_{i<j} a_i a_j \mathrm{Cov}(X_i, X_j) \]

証明

$X - \mu_X = \tilde{X}$、$Y - \mu_Y = \tilde{Y}$ とおくと、$(X + Y) - (\mu_X + \mu_Y) = \tilde{X} + \tilde{Y}$ なので

\[ V[X + Y] = E\big[(\tilde{X} + \tilde{Y})^2\big] = E[\tilde{X}^2] + 2E[\tilde{X}\tilde{Y}] + E[\tilde{Y}^2] = V[X] + 2\mathrm{Cov}(X, Y) + V[Y] \]

一般の場合も、$(\sum a_i \tilde{X}_i)^2$ を展開して期待値をとれば同様です。

注意：独立なら分散は足し算になりますが、標準偏差は足し算にならない ことに注意しましょう（$\sigma_{X+Y} = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}$。ピタゴラスの定理と同じ形です）。また $V[X - Y] = V[X] + V[Y] - 2\mathrm{Cov}(X, Y)$ で、独立なら 差の分散も和になります。

例（二項分布の分散）：$X \sim B(n, p)$ は独立な $n$ 個のベルヌーイ変数の和なので、$V[X] = n \cdot p(1 - p)$。第7章の面倒な計算が一瞬で済みます。

標本平均の期待値と分散 ― 推測統計の出発点¶

定理9.3から、統計学で最も重要な結果の1つが導かれます。

定理 9.4（標本平均の期待値と分散）

$X_1, \dots, X_n$ が i.i.d. で $E[X_i] = \mu$、$V[X_i] = \sigma^2$ のとき、標本平均 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ について

\[ E[\bar{X}] = \mu, \qquad V[\bar{X}] = \frac{\sigma^2}{n}, \qquad \text{標準偏差} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

証明

線形性より $E[\bar{X}] = \frac{1}{n}\sum E[X_i] = \frac{1}{n}\cdot n\mu = \mu$。独立性と定理9.3（$a_i = 1/n$、共分散はすべて0）より

\[ V[\bar{X}] = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n^2}V[X_i] = \frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n} \]

データを $n$ 個集めて平均をとると、平均値のぶれ（標準偏差）は $1/\sqrt{n}$ に小さくなります。 4倍のデータで精度は2倍、100倍のデータで精度は10倍——この $\sqrt{n}$ の法則 は、第11章の大数の法則、第12章の中心極限定理、そして推定・検定のすべての出発点になります。

応用：分散投資¶

値動き（収益率）の標準偏差がどれも $\sigma$ で、どの2つの相関係数も $\rho$ である $n$ 個の銘柄に、資金を等分して投資するとします。ポートフォリオの収益率は $\bar{X}$ なので、定理9.3より

\[ V[\bar{X}] = \frac{1}{n^2}\left(n\sigma^2 + n(n-1)\rho\sigma^2\right) = \sigma^2\left(\rho + \frac{1 - \rho}{n}\right) \]

分散投資の効果 — 図9.4 銘柄数を増やすとリスク（標準偏差）は下がるが、銘柄間に相関があると $\sqrt{\rho}\,\sigma$ より下には下がらない（点線）。

銘柄が独立（$\rho = 0$）ならリスクはいくらでも小さくできますが、相関があると、市場全体の動きのような「分散しきれないリスク」が残ります。

9.5 条件付き期待値¶

条件付き分布の期待値を 条件付き期待値 といいます。

\[ E[Y \mid X = x] = \sum_y y\,p(y \mid x) \qquad \left(\text{連続型なら} \int y\,f(y \mid x)\,dy\right) \]

これは $x$ の関数です。$x$ に確率変数 $X$ を代入した $E[Y \mid X]$ は、$X$ によって値が決まる確率変数 になります。

図9.3の点（切り口の中心）を結んだ線が $E[Y \mid X = x]$ でした（この例では直線ですが、一般には曲線になります）。これは「$X$ を知ったときの $Y$ の最良の予測」を表していて、実際、$E[(Y - g(X))^2]$ を最小にする関数 $g$ は $g(X) = E[Y \mid X]$ であることが示せます（第2章で「平均値は二乗誤差を最小にする」と学んだことの一般化です）。これが第18章の回帰分析の理論的な背景です。

定理 9.5（繰り返し期待値の法則と全分散の公式）

\[ E\big[E[Y \mid X]\big] = E[Y] \]

\[ V[Y] = E\big[V[Y \mid X]\big] + V\big[E[Y \mid X]\big] \]

証明

繰り返し期待値の法則（離散型）：

\[ E\big[E[Y \mid X]\big] = \sum_x E[Y \mid X = x]\,p_X(x) = \sum_x\sum_y y\,\frac{p(x, y)}{p_X(x)}\,p_X(x) = \sum_x\sum_y y\,p(x, y) = E[Y] \]

全分散の公式：$V[Y \mid X] = E[Y^2 \mid X] - (E[Y \mid X])^2$ の期待値をとり、繰り返し期待値の法則を使うと

\[ E\big[V[Y \mid X]\big] = E[Y^2] - E\big[(E[Y \mid X])^2\big] \]

一方 $V\big[E[Y \mid X]\big] = E\big[(E[Y \mid X])^2\big] - \big(E[E[Y \mid X]]\big)^2 = E\big[(E[Y \mid X])^2\big] - (E[Y])^2$。 2式を足すと $E[Y^2] - (E[Y])^2 = V[Y]$ になります。

繰り返し期待値の法則は「場合分けして平均し、その平均をさらに平均する」ことを表しています（全確率の公式の期待値版です）。全分散の公式は「全体のばらつき＝グループ内のばらつきの平均＋グループ間のばらつき」という分解で、第19章の分散分析の考え方そのものです。

例：ある鶏が1か月に産む卵の数 $N$ は $Po(\lambda)$ に従い、各卵は独立に確率 $p$ でかえるとします。かえるひなの数 $Y$ について、$N$ を与えると $Y \sim B(N, p)$ なので

\[ E[Y] = E\big[E[Y \mid N]\big] = E[Np] = \lambda p \]

\[ V[Y] = E\big[Np(1 - p)\big] + V[Np] = \lambda p(1 - p) + p^2\lambda = \lambda p \]

期待値と分散が等しいのはポアソン分布の特徴でした。実際、$Y \sim Po(\lambda p)$ であることが示せます。

9.6 2変量正規分布¶

2つの変数の同時分布として最も重要なのが 2変量正規分布 です。

定義 9.5（2変量正規分布）

5つのパラメータ $\mu_X, \mu_Y$（平均）、$\sigma_X, \sigma_Y$（標準偏差）、$\rho$（相関係数、$|\rho| < 1$）をもつ 2変量正規分布 の同時密度関数は

\[ f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1 - \rho^2}}\exp\left[-\frac{1}{2(1 - \rho^2)}\left\{\frac{(x - \mu_X)^2}{\sigma_X^2} - \frac{2\rho(x - \mu_X)(y - \mu_Y)}{\sigma_X\sigma_Y} + \frac{(y - \mu_Y)^2}{\sigma_Y^2}\right\}\right] \]

相関係数の異なる2変量正規分布 — 図9.5 2変量正規分布の等高線は楕円で、$\rho$ の符号で傾きの向きが、$|\rho|$ の大きさで細長さが決まる。点はこの分布から発生させた300組のデータ。

式は複雑ですが、次の性質が重要です。

定理 9.6（2変量正規分布の性質）

$(X, Y)$ が2変量正規分布に従うとき

周辺分布は正規分布：$X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$、$Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$
条件付き分布も正規分布：

\[ Y \mid X = x \ \sim\ N\left(\mu_Y + \rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(x - \mu_X),\ \ \sigma_Y^2(1 - \rho^2)\right) \]
無相関なら独立：$\rho = 0$ ならば $X$ と $Y$ は独立
$aX + bY$ は正規分布に従う

2 は特に重要です。条件付き期待値 $E[Y \mid X = x]$ は $x$ の 1次関数（直線） になり、その傾き $\rho\sigma_Y/\sigma_X$ は第3章で見た回帰直線の傾き $r\,s_y/s_x$ とまったく同じ形です。また条件付き分散 $\sigma_Y^2(1 - \rho^2)$ は $x$ によらず一定で、$X$ を知ることで $Y$ の分散が $(1 - \rho^2)$ 倍に減ることを表しています。

3 は一般には成り立たない「無相関 ⇒ 独立」が、正規分布では成り立つという特別な性質です。$\rho = 0$ を密度関数に代入すると、指数部分が $x$ の項と $y$ の項に分かれ、$f(x, y) = f_X(x)f_Y(y)$ となることから確かめられます。

多変量正規分布

$k$ 個の変数の場合は、平均ベクトル $\boldsymbol{\mu}$ と 分散共分散行列 $\Sigma$（$(i, j)$ 成分が $\mathrm{Cov}(X_i, X_j)$）を使って

\[ f(\boldsymbol{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{k/2}|\Sigma|^{1/2}}\exp\left\{-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu})^\top\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu})\right\} \]

と書けます。1変数の $\frac{(x - \mu)^2}{\sigma^2}$ が、行列を使った2次形式に置き換わった形です。重回帰分析（第18章）や多変量解析の基礎になります。

まとめ¶

同時分布を一方の変数について足す（積分する）と 周辺分布、ある値で切り取って正規化すると 条件付き分布。
独立 ⟺ 同時分布＝周辺分布の積。独立なら $E[XY] = E[X]E[Y]$、共分散は0（逆は成り立たない）。
$V[X + Y] = V[X] + V[Y] + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$。独立なら分散は足し算。
i.i.d. な標本の平均は $E[\bar{X}] = \mu$、$V[\bar{X}] = \sigma^2/n$。精度は $\sqrt{n}$ に比例して上がる。
$E[E[Y \mid X]] = E[Y]$、$V[Y] = E[V[Y \mid X]] + V[E[Y \mid X]]$。
2変量正規分布では、周辺分布も条件付き分布も正規分布で、条件付き期待値は直線、無相関なら独立。

練習問題¶

問題 9.1（周辺分布と独立性）

$(X, Y)$ の同時確率関数が次の表で与えられています。

	$Y = 0$	$Y = 1$
$X = 0$	0.12	0.28
$X = 1$	0.18	0.42

(1) $X$ と $Y$ の周辺分布を求めてください。　(2) $X$ と $Y$ は独立ですか。

解答

(1) $P(X = 0) = 0.40$、$P(X = 1) = 0.60$、$P(Y = 0) = 0.30$、$P(Y = 1) = 0.70$。

(2) $0.40 \times 0.30 = 0.12$、$0.40 \times 0.70 = 0.28$、$0.60 \times 0.30 = 0.18$、$0.60 \times 0.70 = 0.42$ で、すべてのセルで同時確率＝周辺確率の積なので独立です。

問題 9.2（和と差の分散）

$V[X] = 4$、$V[Y] = 9$、$\mathrm{Cov}(X, Y) = -2$ のとき、$V[X + Y]$、$V[X - Y]$、$V[2X - 3Y + 5]$ を求めてください。

解答

$V[X + Y] = 4 + 9 + 2(-2) = 9$
$V[X - Y] = 4 + 9 - 2(-2) = 17$
$V[2X - 3Y + 5] = 4 \cdot 4 + 9 \cdot 9 + 2 \cdot 2 \cdot (-3) \cdot (-2) = 16 + 81 + 24 = 121$

問題 9.3（標本平均）

ある母集団の標準偏差は 12 です。標本平均の標準偏差を 2 以下にするには、何個以上のデータが必要ですか。

解答

$12/\sqrt{n} \le 2$ より $\sqrt{n} \ge 6$、$n \ge 36$。36個以上必要です。

問題 9.4（2変量正規分布の条件付き分布）

父親の身長 $X$ と息子の身長 $Y$ が、$\mu_X = \mu_Y = 170$、$\sigma_X = \sigma_Y = 6$、$\rho = 0.5$ の2変量正規分布に従うとします。父親の身長が 182 cm のとき、息子の身長の条件付き分布を求めてください。

解答

\[ E[Y \mid X = 182] = 170 + 0.5 \cdot \frac{6}{6}(182 - 170) = 176, \qquad V[Y \mid X = 182] = 36(1 - 0.25) = 27 \]

つまり $N(176, 27)$（標準偏差約 5.2 cm）です。父親は平均より 12 cm 高いのに、息子の予測値は平均より 6 cm 高いだけです。これが第3章で触れた「平均への回帰」で、ゴルトンが19世紀に親子の身長のデータで発見した現象です。

問題 9.5（繰り返し期待値の法則）

サイコロを1回振って出た目 $N$ の回数だけコインを投げ、表の回数を $Y$ とします。$E[Y]$ と $V[Y]$ を求めてください。

解答

$N$ を与えると $Y \sim B(N, 1/2)$ なので $E[Y \mid N] = N/2$、$V[Y \mid N] = N/4$。$E[N] = 7/2$、$V[N] = 35/12$ より

\[ E[Y] = E[N/2] = \frac{7}{4}, \qquad V[Y] = E[N/4] + V[N/2] = \frac{7}{8} + \frac{35}{48} = \frac{42 + 35}{48} = \frac{77}{48} \approx 1.60 \]

	\(Y = 0\)	\(Y = 1\)	\(Y = 2\)	\(X\) の周辺分布
\(X = 0\)	\(1/8\)	\(1/8\)	\(0\)	\(2/8\)
\(X = 1\)	\(1/8\)	\(2/8\)	\(1/8\)	\(4/8\)
\(X = 2\)	\(0\)	\(1/8\)	\(1/8\)	\(2/8\)
\(Y\) の周辺分布	\(2/8\)	\(4/8\)	\(2/8\)	\(1\)

第9章 多次元の確率分布¶