付録B 確率分布一覧と数表¶

本教材に登場する確率分布の性質と、推定・検定で使う数表をまとめます。

B.1 離散分布¶

分布	記号	確率関数 \(P(X = k)\)	とりうる値	期待値	分散	積率母関数	章
ベルヌーイ	\(\mathrm{Bern}(p)\)	\(p^k(1-p)^{1-k}\)	\(0, 1\)	\(p\)	\(p(1-p)\)	\(1 - p + pe^t\)	7
二項	\(B(n, p)\)	\(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)	\(0, \dots, n\)	\(np\)	\(np(1-p)\)	\((1 - p + pe^t)^n\)	7
ポアソン	\(Po(\lambda)\)	\(e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\)	\(0, 1, 2, \dots\)	\(\lambda\)	\(\lambda\)	\(e^{\lambda(e^t - 1)}\)	7
幾何	\(Ge(p)\)	\(p(1-p)^k\)	\(0, 1, 2, \dots\)	\(\frac{1-p}{p}\)	\(\frac{1-p}{p^2}\)	\(\frac{p}{1 - (1-p)e^t}\)	7
負の二項	\(NB(r, p)\)	\(\binom{k+r-1}{k}p^r(1-p)^k\)	\(0, 1, 2, \dots\)	\(\frac{r(1-p)}{p}\)	\(\frac{r(1-p)}{p^2}\)	\(\left(\frac{p}{1 - (1-p)e^t}\right)^r\)	7
超幾何	\(HG(N, M, n)\)	\(\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}\)	\(\max(0, n-N+M), \dots, \min(n, M)\)	\(n\frac{M}{N}\)	\(n\frac{M}{N}\left(1 - \frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}\)	—	7
離散一様	—	\(\frac{1}{n}\)	\(1, \dots, n\)	\(\frac{n+1}{2}\)	\(\frac{n^2-1}{12}\)	\(\frac{e^t(e^{nt} - 1)}{n(e^t - 1)}\)	6

（幾何分布・負の二項分布は「成功するまでの 失敗の回数」として定義しています。積率母関数は \((1-p)e^t < 1\) の範囲で存在します。）

B.2 連続分布¶

分布	記号	密度関数 \(f(x)\)	とりうる値	期待値	分散	積率母関数	章
一様	\(U(a, b)\)	\(\frac{1}{b - a}\)	\(a \le x \le b\)	\(\frac{a+b}{2}\)	\(\frac{(b-a)^2}{12}\)	\(\frac{e^{bt} - e^{at}}{(b-a)t}\)	8
正規	\(N(\mu, \sigma^2)\)	\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)	実数全体	\(\mu\)	\(\sigma^2\)	\(e^{\mu t + \sigma^2 t^2/2}\)	8
指数	\(Ex(\lambda)\)	\(\lambda e^{-\lambda x}\)	\(x \ge 0\)	\(\frac{1}{\lambda}\)	\(\frac{1}{\lambda^2}\)	\(\frac{\lambda}{\lambda - t}\)	8
ガンマ	\(Ga(\alpha, \lambda)\)	\(\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}\)	\(x > 0\)	\(\frac{\alpha}{\lambda}\)	\(\frac{\alpha}{\lambda^2}\)	\(\left(\frac{\lambda}{\lambda - t}\right)^\alpha\)	8
ベータ	\(Be(a, b)\)	\(\frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a, b)}\)	\(0 < x < 1\)	\(\frac{a}{a+b}\)	\(\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}\)	—	8
対数正規	\(LN(\mu, \sigma^2)\)	\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{(\log x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)	\(x > 0\)	\(e^{\mu + \sigma^2/2}\)	\(e^{2\mu + \sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)\)	存在しない	8
カイ二乗	\(\chi^2(k)\)	\(\frac{x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\)	\(x > 0\)	\(k\)	\(2k\)	\((1 - 2t)^{-k/2}\)	13
\(t\)	\(t(k)\)	\(\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\sqrt{k\pi}\Gamma(\frac{k}{2})}\left(1 + \frac{x^2}{k}\right)^{-\frac{k+1}{2}}\)	実数全体	\(0\)（\(k > 1\)）	\(\frac{k}{k-2}\)（\(k > 2\)）	存在しない	13
\(F\)	\(F(m, n)\)	（省略）	\(x > 0\)	\(\frac{n}{n-2}\)（\(n > 2\)）	\(\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}\)（\(n > 4\)）	存在しない	13
コーシー	—	\(\frac{1}{\pi(1 + x^2)}\)	実数全体	存在しない	存在しない	存在しない	8

（ガンマ分布は率 \(\lambda\) を使った流儀で書いています。積率母関数は \(t < \lambda\)、\(t < 1/2\) などの範囲で存在します。）

分布どうしの関係¶

graph TD
  Bern[ベルヌーイ] -->|"n 個の和"| Bin[二項]
  Bin -->|"n→∞, np=λ"| Po[ポアソン]
  Bin -->|"n→∞ 中心極限定理"| N[正規]
  Po -->|"λ→∞"| N
  Ge[幾何] -->|"r 個の和"| NB[負の二項]
  Ex[指数] -->|"n 個の和"| Ga[ガンマ]
  Ga -->|"α=k/2, λ=1/2"| Chi[カイ二乗]
  N -->|"2乗して k 個の和"| Chi
  N -->|"Z / √(W/k)"| T[t]
  Chi -->|"比"| F[F]
  T -->|"2乗"| F
  Be[ベータ] -->|"a=b=1"| U["一様 U(0,1)"]

B.3 数表¶

以下の数表は Python（SciPy）で計算した値です（scripts/make_tables.py で再生成できます）。実際の分析では、ソフトウェアで直接 \(p\) 値やパーセント点を計算するのがふつうです。

標準正規分布表（上側確率）¶

表の値は \(Q(z) = P(Z \ge z) = 1 - \Phi(z)\) です。行が \(z\) の小数第1位まで、列が小数第2位を表します。例：\(z = 1.96\) なら「1.9 の行」と「0.06 の列」の交点 0.0250 を読みます。

\(z\)	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.5000	0.4960	0.4920	0.4880	0.4840	0.4801	0.4761	0.4721	0.4681	0.4641
0.1	0.4602	0.4562	0.4522	0.4483	0.4443	0.4404	0.4364	0.4325	0.4286	0.4247
0.2	0.4207	0.4168	0.4129	0.4090	0.4052	0.4013	0.3974	0.3936	0.3897	0.3859
0.3	0.3821	0.3783	0.3745	0.3707	0.3669	0.3632	0.3594	0.3557	0.3520	0.3483
0.4	0.3446	0.3409	0.3372	0.3336	0.3300	0.3264	0.3228	0.3192	0.3156	0.3121
0.5	0.3085	0.3050	0.3015	0.2981	0.2946	0.2912	0.2877	0.2843	0.2810	0.2776
0.6	0.2743	0.2709	0.2676	0.2643	0.2611	0.2578	0.2546	0.2514	0.2483	0.2451
0.7	0.2420	0.2389	0.2358	0.2327	0.2296	0.2266	0.2236	0.2206	0.2177	0.2148
0.8	0.2119	0.2090	0.2061	0.2033	0.2005	0.1977	0.1949	0.1922	0.1894	0.1867
0.9	0.1841	0.1814	0.1788	0.1762	0.1736	0.1711	0.1685	0.1660	0.1635	0.1611
1.0	0.1587	0.1562	0.1539	0.1515	0.1492	0.1469	0.1446	0.1423	0.1401	0.1379
1.1	0.1357	0.1335	0.1314	0.1292	0.1271	0.1251	0.1230	0.1210	0.1190	0.1170
1.2	0.1151	0.1131	0.1112	0.1093	0.1075	0.1056	0.1038	0.1020	0.1003	0.0985
1.3	0.0968	0.0951	0.0934	0.0918	0.0901	0.0885	0.0869	0.0853	0.0838	0.0823
1.4	0.0808	0.0793	0.0778	0.0764	0.0749	0.0735	0.0721	0.0708	0.0694	0.0681
1.5	0.0668	0.0655	0.0643	0.0630	0.0618	0.0606	0.0594	0.0582	0.0571	0.0559
1.6	0.0548	0.0537	0.0526	0.0516	0.0505	0.0495	0.0485	0.0475	0.0465	0.0455
1.7	0.0446	0.0436	0.0427	0.0418	0.0409	0.0401	0.0392	0.0384	0.0375	0.0367
1.8	0.0359	0.0351	0.0344	0.0336	0.0329	0.0322	0.0314	0.0307	0.0301	0.0294
1.9	0.0287	0.0281	0.0274	0.0268	0.0262	0.0256	0.0250	0.0244	0.0239	0.0233
2.0	0.0228	0.0222	0.0217	0.0212	0.0207	0.0202	0.0197	0.0192	0.0188	0.0183
2.1	0.0179	0.0174	0.0170	0.0166	0.0162	0.0158	0.0154	0.0150	0.0146	0.0143
2.2	0.0139	0.0136	0.0132	0.0129	0.0125	0.0122	0.0119	0.0116	0.0113	0.0110
2.3	0.0107	0.0104	0.0102	0.0099	0.0096	0.0094	0.0091	0.0089	0.0087	0.0084
2.4	0.0082	0.0080	0.0078	0.0075	0.0073	0.0071	0.0069	0.0068	0.0066	0.0064
2.5	0.0062	0.0060	0.0059	0.0057	0.0055	0.0054	0.0052	0.0051	0.0049	0.0048
2.6	0.0047	0.0045	0.0044	0.0043	0.0041	0.0040	0.0039	0.0038	0.0037	0.0036
2.7	0.0035	0.0034	0.0033	0.0032	0.0031	0.0030	0.0029	0.0028	0.0027	0.0026
2.8	0.0026	0.0025	0.0024	0.0023	0.0023	0.0022	0.0021	0.0021	0.0020	0.0019
2.9	0.0019	0.0018	0.0018	0.0017	0.0016	0.0016	0.0015	0.0015	0.0014	0.0014
3.0	0.0013	0.0013	0.0013	0.0012	0.0012	0.0011	0.0011	0.0011	0.0010	0.0010
3.1	0.0010	0.0009	0.0009	0.0009	0.0008	0.0008	0.0008	0.0008	0.0007	0.0007
3.2	0.0007	0.0007	0.0006	0.0006	0.0006	0.0006	0.0006	0.0005	0.0005	0.0005
3.3	0.0005	0.0005	0.0005	0.0004	0.0004	0.0004	0.0004	0.0004	0.0004	0.0003
3.4	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0003	0.0002

\(t\) 分布表（上側パーセント点）¶

表の値は \(P(T \ge t_\alpha(k)) = \alpha\) となる \(t_\alpha(k)\) です。両側検定・95%信頼区間には \(\alpha = 0.025\) の列を使います。

自由度 \(k\)	\(\alpha\) = 0.1	\(\alpha\) = 0.05	\(\alpha\) = 0.025	\(\alpha\) = 0.01	\(\alpha\) = 0.005
1	3.078	6.314	12.706	31.821	63.657
2	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925
3	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841
4	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604
5	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032
6	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707
7	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499
8	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355
9	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250
10	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169
11	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106
12	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055
13	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012
14	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977
15	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947
16	1.337	1.746	2.120	2.583	2.921
17	1.333	1.740	2.110	2.567	2.898
18	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878
19	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861
20	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845
21	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831
22	1.321	1.717	2.074	2.508	2.819
23	1.319	1.714	2.069	2.500	2.807
24	1.318	1.711	2.064	2.492	2.797
25	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787
26	1.315	1.706	2.056	2.479	2.779
27	1.314	1.703	2.052	2.473	2.771
28	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763
29	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756
30	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750
40	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704
60	1.296	1.671	2.000	2.390	2.660
120	1.289	1.658	1.980	2.358	2.617
∞	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576

カイ二乗分布表（上側パーセント点）¶

表の値は \(P(\chi^2 \ge \chi^2_\alpha(k)) = \alpha\) となる \(\chi^2_\alpha(k)\) です。カイ二乗分布は左右対称でないので、下側の点（\(\alpha = 0.975\) など）も必要になります。

自由度 \(k\)	0.995	0.99	0.975	0.95	0.05	0.025	0.01	0.005
1	0.0000393	0.000157	0.000982	0.00393	3.841	5.024	6.635	7.879
2	0.0100	0.0201	0.0506	0.103	5.991	7.378	9.210	10.60
3	0.0717	0.115	0.216	0.352	7.815	9.348	11.34	12.84
4	0.207	0.297	0.484	0.711	9.488	11.14	13.28	14.86
5	0.412	0.554	0.831	1.145	11.07	12.83	15.09	16.75
6	0.676	0.872	1.237	1.635	12.59	14.45	16.81	18.55
7	0.989	1.239	1.690	2.167	14.07	16.01	18.48	20.28
8	1.344	1.646	2.180	2.733	15.51	17.53	20.09	21.95
9	1.735	2.088	2.700	3.325	16.92	19.02	21.67	23.59
10	2.156	2.558	3.247	3.940	18.31	20.48	23.21	25.19
11	2.603	3.053	3.816	4.575	19.68	21.92	24.72	26.76
12	3.074	3.571	4.404	5.226	21.03	23.34	26.22	28.30
13	3.565	4.107	5.009	5.892	22.36	24.74	27.69	29.82
14	4.075	4.660	5.629	6.571	23.68	26.12	29.14	31.32
15	4.601	5.229	6.262	7.261	25.00	27.49	30.58	32.80
16	5.142	5.812	6.908	7.962	26.30	28.85	32.00	34.27
17	5.697	6.408	7.564	8.672	27.59	30.19	33.41	35.72
18	6.265	7.015	8.231	9.390	28.87	31.53	34.81	37.16
19	6.844	7.633	8.907	10.12	30.14	32.85	36.19	38.58
20	7.434	8.260	9.591	10.85	31.41	34.17	37.57	40.00
21	8.034	8.897	10.28	11.59	32.67	35.48	38.93	41.40
22	8.643	9.542	10.98	12.34	33.92	36.78	40.29	42.80
23	9.260	10.20	11.69	13.09	35.17	38.08	41.64	44.18
24	9.886	10.86	12.40	13.85	36.42	39.36	42.98	45.56
25	10.52	11.52	13.12	14.61	37.65	40.65	44.31	46.93
26	11.16	12.20	13.84	15.38	38.89	41.92	45.64	48.29
27	11.81	12.88	14.57	16.15	40.11	43.19	46.96	49.64
28	12.46	13.56	15.31	16.93	41.34	44.46	48.28	50.99
29	13.12	14.26	16.05	17.71	42.56	45.72	49.59	52.34
30	13.79	14.95	16.79	18.49	43.77	46.98	50.89	53.67
40	20.71	22.16	24.43	26.51	55.76	59.34	63.69	66.77
50	27.99	29.71	32.36	34.76	67.50	71.42	76.15	79.49
60	35.53	37.48	40.48	43.19	79.08	83.30	88.38	91.95
80	51.17	53.54	57.15	60.39	101.88	106.63	112.33	116.32
100	67.33	70.06	74.22	77.93	124.34	129.56	135.81	140.17

\(F\) 分布表（上側 5% 点）¶

表の値は \(P(F \ge F_{0.05}(m, n)) = 0.05\) となる点です。列が分子の自由度 \(m\)、行が分母の自由度 \(n\) です。下側の点は \(F_{1-\alpha}(m, n) = 1/F_\alpha(n, m)\) で求めます。

\(n\) ＼ \(m\)	1	2	3	4	5	6	8	10	12	15	20
1	161.4	199.5	215.7	224.6	230.2	234.0	238.9	241.9	243.9	245.9	248.0
2	18.51	19.00	19.16	19.25	19.30	19.33	19.37	19.40	19.41	19.43	19.45
3	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.85	8.79	8.74	8.70	8.66
4	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16	6.04	5.96	5.91	5.86	5.80
5	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95	4.82	4.74	4.68	4.62	4.56
6	5.99	5.14	4.76	4.53	4.39	4.28	4.15	4.06	4.00	3.94	3.87
7	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.87	3.73	3.64	3.57	3.51	3.44
8	5.32	4.46	4.07	3.84	3.69	3.58	3.44	3.35	3.28	3.22	3.15
9	5.12	4.26	3.86	3.63	3.48	3.37	3.23	3.14	3.07	3.01	2.94
10	4.96	4.10	3.71	3.48	3.33	3.22	3.07	2.98	2.91	2.85	2.77
12	4.75	3.89	3.49	3.26	3.11	3.00	2.85	2.75	2.69	2.62	2.54
15	4.54	3.68	3.29	3.06	2.90	2.79	2.64	2.54	2.48	2.40	2.33
20	4.35	3.49	3.10	2.87	2.71	2.60	2.45	2.35	2.28	2.20	2.12
25	4.24	3.39	2.99	2.76	2.60	2.49	2.34	2.24	2.16	2.09	2.01
30	4.17	3.32	2.92	2.69	2.53	2.42	2.27	2.16	2.09	2.01	1.93
40	4.08	3.23	2.84	2.61	2.45	2.34	2.18	2.08	2.00	1.92	1.84
60	4.00	3.15	2.76	2.53	2.37	2.25	2.10	1.99	1.92	1.84	1.75
120	3.92	3.07	2.68	2.45	2.29	2.18	2.02	1.91	1.83	1.75	1.66

\(F\) 分布表（上側 2.5% 点）¶

表の値は \(P(F \ge F_{0.025}(m, n)) = 0.025\) となる点です。列が分子の自由度 \(m\)、行が分母の自由度 \(n\) です。下側の点は \(F_{1-\alpha}(m, n) = 1/F_\alpha(n, m)\) で求めます。

\(n\) ＼ \(m\)	1	2	3	4	5	6	8	10	12	15	20
1	647.8	799.5	864.2	899.6	921.8	937.1	956.7	968.6	976.7	984.9	993.1
2	38.51	39.00	39.17	39.25	39.30	39.33	39.37	39.40	39.41	39.43	39.45
3	17.44	16.04	15.44	15.10	14.88	14.73	14.54	14.42	14.34	14.25	14.17
4	12.22	10.65	9.98	9.60	9.36	9.20	8.98	8.84	8.75	8.66	8.56
5	10.01	8.43	7.76	7.39	7.15	6.98	6.76	6.62	6.52	6.43	6.33
6	8.81	7.26	6.60	6.23	5.99	5.82	5.60	5.46	5.37	5.27	5.17
7	8.07	6.54	5.89	5.52	5.29	5.12	4.90	4.76	4.67	4.57	4.47
8	7.57	6.06	5.42	5.05	4.82	4.65	4.43	4.30	4.20	4.10	4.00
9	7.21	5.71	5.08	4.72	4.48	4.32	4.10	3.96	3.87	3.77	3.67
10	6.94	5.46	4.83	4.47	4.24	4.07	3.85	3.72	3.62	3.52	3.42
12	6.55	5.10	4.47	4.12	3.89	3.73	3.51	3.37	3.28	3.18	3.07
15	6.20	4.77	4.15	3.80	3.58	3.41	3.20	3.06	2.96	2.86	2.76
20	5.87	4.46	3.86	3.51	3.29	3.13	2.91	2.77	2.68	2.57	2.46
25	5.69	4.29	3.69	3.35	3.13	2.97	2.75	2.61	2.51	2.41	2.30
30	5.57	4.18	3.59	3.25	3.03	2.87	2.65	2.51	2.41	2.31	2.20
40	5.42	4.05	3.46	3.13	2.90	2.74	2.53	2.39	2.29	2.18	2.07
60	5.29	3.93	3.34	3.01	2.79	2.63	2.41	2.27	2.17	2.06	1.94
120	5.15	3.80	3.23	2.89	2.67	2.52	2.30	2.16	2.05	1.94	1.82